Integral indefinida – Definição e soluções…

\text{Para falar de integral indefinida, falemos antes da definição de antiderivada, que é um}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
 \text{conceito atrelado ao de integral.} 
\text{Sendo} \ f(x) \text{ e } F(x) \text{ definidas em } I \subset \R, \forall x \in I, \text{ dizemos que : }\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\qquad\quad\\
F \text{ é uma antiderivada ou uma primitiva de } f, \text{ em } I, \text{ se } F ’(x) = f(x)\\
\textbf{Exemplos:} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
F(x) = x^2 \text{ é uma antiderivada (primitiva) de } f(x) = 2x, \text{ pois } F ’(x) = 2x. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ 
F(x) = x^2 + 7 \text{ é uma antiderivada (primitiva) de} f(x) = 2x, \text{ pois } F ’(x) = 2x.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
F(x) = x^2 + ½ \text{ é uma antiderivada (primitiva) de } f(x) = 2x, \text{ pois } F ’(x) = 2x. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
F(x) = 2x \text{ é uma antiderivada (primitiva) de} f(x) = 2, \text{ pois } F ’(x) = 2. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\
F(x) = e^x \text{ é uma antiderivada (primitiva) de } f(x) = e^x, \text{ pois } F ’(x) = e^x. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\
\textbf{Definição: (Integral Indefinida)}  \text{ Se } F(x) \text{ é uma primitiva de } f(x), \text{ a expressão } F(x)+c\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\
\text{ é chamada de integral indefinida da função }  f(x) \text{ e é denotada por:} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
\int f(x) dx = F(x)+C \\
\text{A ligação que existe entre derivadas e integrais permite usar regras já 
conhecidas de de-}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
\text{rivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim, obtém-se as cha-}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\
\text{madas} \textit{ integrais imediatas}. \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad

\text{É possível encontrar tabelas com mais integrais imediatas e até identidades interessantes} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\
\text{nas capas de livros de cálculo.} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\
\textbf{Propriedades da integral indefinida} \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
\text{Sejam } f,g: I \to \R \text{ e } c \ne 0 \text{ uma constante. Então: }\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \\
\text{a.} \int cf(x) dx= c\int f(x) dx \qquad\qquad\qquad\qquad\\
\text{b.} \int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx \\
\textbf{ Exercícios resolvidos } \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
\text{1.}\int\left(3x^2+5+\sqrt{x}\right)dx=\int 3x^2\ dx+\int 5\ dx+ \int\sqrt{x}\ dx =3\int x^2\ dx +5\int 1\ dx+\int x^{\frac{1}{2}}\ dx \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
	\qquad\qquad=\left(3. \ \frac{x^{2+1}}{2+1}+ c_1\right)+\left(5.\ x+c_2\right)+ \left(\frac{x^{1/2\ +1}}{1/2\ +1}+c_3\right)= 3\frac{x^3}{3}+5x+\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\underbrace{(c_1+c_2+c_3)}_C\\
	=x^3+5x+\frac{2\sqrt[2]{x^3}}{3}+C. \\
\text{2.} \int\left(\frac{x^3+2x+7}{x}\right)dx=\int\left(\frac{x^3}{x}+\frac{2x}{x}+\frac{7}{x}\right)dx=\int\frac{x^3}{x}\ dx+\int\frac{2x}{x}\ dx+\int\frac{7}{x}\ dx \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\
	=\int x^2\ dx+ \int 2\ dx+\int 7\frac{1}{x}\ dx=\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}+c_1\right)+(2x+c_2)+(7+c_3)\\
	=\frac{x^3}{3}+2x+7+\underbrace{(c_1+c_2+c_3)}_C